浮点数的表示—IEEE754标准

引言

我们知道，在计算机中，数字以0和1组成的二进制序列来表示。但是，对于非常大的数字以及非常接近0的数字，简单的存储方式往往会造成精度的丢失。

为了解决这个问题，提供更高效的浮点数表示方法，各大厂商纷纷推出自己的浮点数表示标准。大约在1985年，IEEE（电气和电子工程师协会）推出了745标准，从此，江湖一统。

IEEE754标准浮点格式

IEEE754标准浮点格式由三部分组成：$(-1)^SM2^E$

• S：符号，表示浮点数是正数（s=0）还是负数（s=1）
• E：阶码，对浮点数进行加权。阶码被解释为以偏置形式表示的有符号整数，偏置值（Bias）为$2^{(n-1)}-1$，n为e所占的位数（Bias单精度为$2^{(8-1)}-1=127_{10}=0111 1111_2$，双精度为$2^{(11-1)}-1=1023$）。
• M：尾数，用于表示小数

如下图所示，IEEE754标准浮点格式下的单精度浮点数占32位：符号占1位，阶码占8位，尾数占23位；双精度浮点数占64位。

规格化的值

当阶码位既不全为0也不全为1时，是规格化浮点数。此时E=e-Bias，M>=1。

例子：十进制的$(-0.75)_{10}$，将其转化为IEEE754格式：

• 转化为二进制：$(-0.75){10}=(-3/4){10}=-(2^{-1}+2^{-2})_{10}=(-0.11)_2$
• 写为$(-1)^SM2^E$格式：$(-1)^11.1_22^{-1_2}$
• S=1，E=-1，M=1.1，$e=E+Bias=-1_{10}+127_{10}=-0000 0001_2 + 0111 1111_2 = 0111 1110_2$，将M去除包含的最高位1只留小数部分得到$m=2^{(-1)_2}=100 0000 0000 0000 0000 0000_2$
• 组合S、e、m即得IEEE754格式：$1 011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000$

非规格化的值

当阶码位全为0时，是非规格化浮点数。此时E=1-Bias。

因为M不需要>=1，所以提供了表示非常接近0值的方式。当尾数位也全为0时，表示0。

特殊值

当阶码位全为1时，是特殊浮点数。

此时，如果尾数位也全为1，当阶码位为1时代表负无穷，当阶码位为0时代表正无穷；

当尾数位不全为1时，代表NaN，（Not a Number）不是一个数。